\(A[X]/(X)\) : \(X\) est unitaire donc on dispose de la division euclidienne par \(X\). On vérifie (comme dans le cours) que chaque classe a un et un seul représentant de degré \(0\). On en déduit que \(A[X]/(X)\) est en bijection avec \(A\). Il reste alors à remarquer que cette bijection est un morphisme d’anneaux.

Une autre façon de dire la même chose est de remarquer que l’application \(\phi:A[X]\to A\), \(P\mapsto P(0)\) est un morphisme d’anneaux. \(\ker\phi=(X)\) et \(\mathrm{Im}\,\phi=A\). Comme \(A/\ker\phi\sim \mathrm{Im}\,\phi\), on a bien \(A[X]/(X)\sim A\).
On peut considérer \(\phi:A[X,Y]\to A[Y]\), \(P\mapsto P(0,Y)\). C’est un morphisme d’anneaux. En séparant les termes ne dépendant que de \(Y\) des autres, on peut mettre tout polynôme \(P\) de \(A[X,Y]\) sous la forme \(P=P_{1}(Y)+XP_{2}(X,Y)\) où \(P_{1}\in A[Y]\) et \(P_{2}\in A[X,Y]\). Alors \(\phi(P)=0\) ssi \(P_{1}=0\), ssi \(P=XP_{2}\), c’est à dire \(P\in(X)\). Ainsi \(\ker\phi=(X)\). Par ailleurs, tout polynôme \(P\) de \(A[Y]\) peut être vu comme un polynôme \(\tilde{P}\) de \(A[X,Y]\). Alors \(P=\phi(\tilde{P})\), donc \(\mathrm{Im}\,\phi=A[Y]\). Finalement : \(A[X,Y]/(X)\sim A[Y]\).
\(A[X,Y]/(X,Y)\) : Soit \(\phi:A[X,Y]\to A\), \(P\mapsto P(0,0)\). \(\phi\) est un morphisme d’anneaux, et avec les notations précédentes, pour \(P=P_{1}(Y)+XP_{2}(X,Y)\), avec \(\phi(P)=0\), on a \(P_{1}(0)=0\), donc \(Y|P_{1}(Y)\). Ainsi, \(P\) est la somme de deux polynômes, l’un multiple de \(X\), l’autre multiple de \(Y\) donc \(P\in(X,Y)\). Réciproquement, si \(P\in(X,Y)\), alors \(P(0,0)=0\). Donc \(\ker\phi=(X,Y)\). \(\forall a\in A \phi(a)=a\) donc \(\phi\) est surjective. Finalement \(A[X,Y]/(X,Y)\sim A\).
\(A[X_{1},\dots,X_{n}]/(X_{1},\dots,X_{n})\) : Soit \(\phi~:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to A\), \(P\mapsto P(0)\). \(\phi\) est un morphisme d’anneaux. En regroupant tous les termes dépendant de \(X_{n}\), puis tous les termes restant dépendant de \(X_{n-1}\), et ainsi de suite jusqu’aux termes dépendant seulement de \(X_{1}\), et enfin le terme constant, tout polynôme \(P\in A[X_{1},\dots,X_{n}]\) peut se mettre sous la forme \(P=X_{n}P_{n}+X_{n-1}P_{n-1}+\dots+X_{1}P_{1}+p_{0}\), avec \(P_{i}\in A[X_{1},\dots,X_{i}]\) (et \(p_{0}\in A\)). On en déduit que \(\ker\phi=(X_{1},\dots,X_{n})\). Par ailleurs \(\forall a\in A, \phi(a)=a\), donc \(A[X_{1},\dots,X_{n}]/(X_{1},\dots,X_{n})\sim A\).

Comme un idéal est premier (resp. maximal) ssi le quotient est intègre (resp. un corps), on en déduit que

dans \(A[X]\), \((X)\) est premier ssi \(A\) est intègre, maximal ssi \(A\) est un corps,
dans \(A[X,Y]\), \((X)\) est premier ssi \(A\) est intègre, et n’est jamais maximal,
dans \(A[X_{1},\dots,X_{n}]\), \((X_{1},\dots,X_{n})\) est premier ssi \(A\) est intègre, maximal ssi \(A\) est un corps.

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