$A[X]/(X)$ : $X$ est unitaire donc on dispose de la division euclidienne par $X$ . On vérifie (comme dans le cours) que chaque classe a un et un seul représentant de degré $0$ . On en déduit que $A[X]/(X)$ est en bijection avec $A$ . Il reste alors à remarquer que cette bijection est un morphisme d’anneaux.

Une autre façon de dire la même chose est de remarquer que l’application $\phi:A[X]\to A$ , $P\mapsto P(0)$ est un morphisme d’anneaux. $\ker\phi=(X)$ et $\mathrm{Im}\,\phi=A$ . Comme $A/\ker\phi\sim \mathrm{Im}\,\phi$ , on a bien $A[X]/(X)\sim A$ .
On peut considérer $\phi:A[X,Y]\to A[Y]$ , $P\mapsto P(0,Y)$ . C’est un morphisme d’anneaux. En séparant les termes ne dépendant que de $Y$ des autres, on peut mettre tout polynôme $P$ de $A[X,Y]$ sous la forme $P=P_{1}(Y)+XP_{2}(X,Y)$ où $P_{1}\in A[Y]$ et $P_{2}\in A[X,Y]$ . Alors $\phi(P)=0$ ssi $P_{1}=0$ , ssi $P=XP_{2}$ , c’est à dire $P\in(X)$ . Ainsi $\ker\phi=(X)$ . Par ailleurs, tout polynôme $P$ de $A[Y]$ peut être vu comme un polynôme $\tilde{P}$ de $A[X,Y]$ . Alors $P=\phi(\tilde{P})$ , donc $\mathrm{Im}\,\phi=A[Y]$ . Finalement : $A[X,Y]/(X)\sim A[Y]$ .
$A[X,Y]/(X,Y)$ : Soit $\phi:A[X,Y]\to A$ , $P\mapsto P(0,0)$ . $\phi$ est un morphisme d’anneaux, et avec les notations précédentes, pour $P=P_{1}(Y)+XP_{2}(X,Y)$ , avec $\phi(P)=0$ , on a $P_{1}(0)=0$ , donc $Y|P_{1}(Y)$ . Ainsi, $P$ est la somme de deux polynômes, l’un multiple de $X$ , l’autre multiple de $Y$ donc $P\in(X,Y)$ . Réciproquement, si $P\in(X,Y)$ , alors $P(0,0)=0$ . Donc $\ker\phi=(X,Y)$ . $\forall a\in A \phi(a)=a$ donc $\phi$ est surjective. Finalement $A[X,Y]/(X,Y)\sim A$ .
$A[X_{1},\dots,X_{n}]/(X_{1},\dots,X_{n})$ : Soit $\phi~:A[X_{1},\dots,X_{n}]\to A$ , $P\mapsto P(0)$ . $\phi$ est un morphisme d’anneaux. En regroupant tous les termes dépendant de $X_{n}$ , puis tous les termes restant dépendant de $X_{n-1}$ , et ainsi de suite jusqu’aux termes dépendant seulement de $X_{1}$ , et enfin le terme constant, tout polynôme $P\in A[X_{1},\dots,X_{n}]$ peut se mettre sous la forme $P=X_{n}P_{n}+X_{n-1}P_{n-1}+\dots+X_{1}P_{1}+p_{0}$ , avec $P_{i}\in A[X_{1},\dots,X_{i}]$ (et $p_{0}\in A$ ). On en déduit que $\ker\phi=(X_{1},\dots,X_{n})$ . Par ailleurs $\forall a\in A, \phi(a)=a$ , donc $A[X_{1},\dots,X_{n}]/(X_{1},\dots,X_{n})\sim A$ .

Comme un idéal est premier (resp. maximal) ssi le quotient est intègre (resp. un corps), on en déduit que

dans $A[X]$ , $(X)$ est premier ssi $A$ est intègre, maximal ssi $A$ est un corps,
dans $A[X,Y]$ , $(X)$ est premier ssi $A$ est intègre, et n’est jamais maximal,
dans $A[X_{1},\dots,X_{n}]$ , $(X_{1},\dots,X_{n})$ est premier ssi $A$ est intègre, maximal ssi $A$ est un corps.

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