Deux démonstrations :

\[\ch a\ch b+\sh a\sh b=\frac{1}{4}((e^a+e^{-a})(e^b+e^{-b})+(e^a-e^{-a})(e^b-e^{-b})) = \frac{1}{2}(e^{a+b}+e^{-a-b})=\ch(a+b).\]

\[\tanh(a+b)=\frac{\sh(a+b)}{\ch(a+b)}=\frac{\sh a\ch b+\sh b\ch a}{\ch a\ch b+\sh a\sh b}=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}\] après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul \(\ch a\ch b\). En appliquant à \(a=b=x\), on obtient :

En additionnant entre elles les formules d’addition, on obtient les formules de linéarisation :

\[\ch a\ch b=\frac{1}{2}(\ch(a+b)+\ch(a-b)),\;\sh a\sh b=\frac{1}{2}(\ch(a+b)-\ch(a-b))\;\mbox{et}\;\sh a\ch b=\frac{1}{2}(\sh(a+b)+\sh(a-b)),\] et en particulier

\[\ch^2x=\frac{\ch(2x)+1}{2}\;\mbox{et}\;\sh^2x=\frac{\ch(2x)-1}{2}.\]

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