Soit \(\theta \in ]0, 1[\) un paramètre inconnu, on note \(X\) une variable aléatoire de loi définie par \[P_\theta(X = k) = (k + 1)(1 - \theta)^2 \theta^k, \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}.\] On donne \[E_\theta[X] = \frac{2\theta}{1 - \theta} \quad \text{et} \quad \text{Var}_\theta[X] = \frac{2\theta}{(1 - \theta)^2}.\] On souhaite estimer \(\theta\) à partir d’un échantillon \((X_1, \dots, X_n)\) de même loi que \(X\).
1
Donner un estimateur \(\hat{\theta}_n\) de \(\theta\) par la méthode des moments.
2
L’estimateur du maximum de vraisemblance \(\hat{\theta}_n\) de \(\theta\) est-il bien défini ?
3
Étudier la consistance de \(\hat{\theta}_n\) et déterminer sa loi limite.