\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-type \(\sigma\). Les quantiles sont à gauche : \(t_{\nu;\gamma}\) pour la loi \(St(\nu)\), avec une probabilité \(\gamma\) à gauche du quantile.
Une association de consommateurs a effectué une enquête sur le prix d’un produit dans les supermarchés. Pour ce produit, les prix suivants (en euros) ont été relevés dans 7 supermarchés différents : \[52 \qquad 52 \qquad 43 \qquad 51 \qquad 69 \qquad 55 \qquad 49.\] On modélise les observations par des variables indépendantes de même loi normale \(\mathcal N(\mu,\sigma)\), avec \(\sigma>0\).
Calculer une estimation \(\overline{x}\) de l’espérance \(\mu\) du prix \(X\) de ce produit et une estimation \(s\) de son écart-type \(\sigma\). On précisera les estimateurs choisis et on en donnera les propriétés.
On suppose d’abord l’écart-type connu, égal à \(\sigma=8\) euros d’après des enquêtes antérieures. Déterminer les intervalles de confiance symétriques aux niveaux de \(90\%\) et \(99\%\) pour \(\mu\), centrés sur \(\bar x\).
On ne suppose plus \(\sigma\) connu. Déterminer les intervalles de confiance symétriques aux niveaux de \(90\%\) et \(99\%\) pour \(\mu\), centrés sur la moyenne observée \(\bar x\).
Comparer les largeurs des quatre intervalles obtenus. Quel est l’effet du niveau de confiance ? Quel est l’effet de l’estimation de \(\sigma\) ?