Montrer que \(\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*\) il existe un unique \(r(a) \in \left\{ 0, \ldots, b-1\right\}\) tel qu’il existe \(q \in \Nn\) avec \(a = bq + r (a)\).
1
En utilisant ceci pour \(b = 13\), déterminer les entiers \(n\in \Nn\) tels que \(13|n^2 + n + 7\).
2
Si \(a \in \Nn\) et \(b = 7\), déterminer les valeurs possibles de \(r (a^2)\)
(on rappelle que \(r (a^2)\) doit appartenir à \(\left\{ 0, \ldots, b-1\right\}\)).
Montrer alors que \(\forall (x, y) \in \Nn^2\) \((7|x^2 + y^2) \text{ ssi }(7|x \text{ et }
7|y)\).
3
Montrer qu’un entier positif de la forme \(8k + 7\) ne peut pas être la somme de trois carrés d’entiers.