En développant, l’inégalité est équivalente à \[a^2d^2+b^2c^2 \geq 2abcd.\] En appliquant l’inégalité arithmético-géométrique à \(a^2d^2\) et \(b^2c^2\), on obtient: \[a^2d^2+b^2c^2 \geq 2\sqrt{a^2d^2b^2c^2} =2|abcd| \geq 2abcd.\]

Deuxième solution : en fait, on a l’identité remarquable \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2.\]

Remarque : majorer chacun des deux facteurs dans le membre de gauche donne juste \[(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq 4|ab|\cdot|cd|,\] ce qui ne permet pas de conclure puisque par ailleurs on a également \[(ac+bd)^2 \geq 4|acbd|.\]

exo7 7178