On souhaite quantifier la qualité d’un algorithme de classification d’images.
L’algorithme ne retourne pas une catégorie à partir d’une image \(i\), mais seulement une grandeur \(G_i\) qui permet de déterminer la classe la plus probable. On note \(X_i\) l’erreur commise par l’algorithme pour la valeur \(G_i\).
On suppose que \(X_i\) suit une loi normale centrée de variance \(\sigma^2\).
Sur un premier échantillon de 25 images, on obtient une erreur moyenne de \(0{,}01\) calculée avec l’estimateur de moyenne empirique et une variance de 0,25 calculée avec l’estimateur \(\tilde{S}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2\).
Donner une estimation non biaisée de \(\sigma^2\).
Avec un risque d’erreur de \(10\%\), peut-on remettre en cause l’hypothèse que l’espérance de \(X_i\) est nulle ?
Pour étudier la stabilité de l’algorithme par rapport au bruitage des images, on étudie un second échantillon de \(25\) images bruitées. On obtient avec les mêmes estimateurs que précédemment une erreur empirique de \(0{,}012\) et une variance de \(0{,}50\).
Donner une estimation non biaisée \(\sigma^2\) à partir de cet échantillon.
Déterminer la loi de la variable \(\frac{n}{\sigma^2}\tilde{S}^2\) puis de \(\frac{n-1}{\sigma^2}{S}^2\) où \(S^2\) est l’estimateur de variance non biaisé pour un échantillon de taille \(n\).
Déterminer la loi de la variable \(\frac{S_2^2}{S_1^2}\) où \(S_i^2\) est l’estimateur de variance non biaisé de l’échantillon \(i \in \{1;2\}\).
En considérant le quotient de la plus grande variance par la plus petite, construire et mettre en oeuvre un test d’hypothèse permettant de dire si la variance obtenue dans l’échantillon 2 et significativement plus élevée que celle de l’échantillon 1.