1
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \(\mathcal{E}(\lambda)\). Montrer que \(P(X> t+s\mid X> t)=P(X> s)\) pour tous \(s,t\geq 0\).
2
Soit \(X\) une variable aléatoire positive avec une densité continue sur \(\Rr_+\). Si \(P(X> t+s\mid X> t)=P(X> s)\) pour tous \(s,t\geq 0\), montrer que \(X\) suit une loi exponentielle.
Ce résultat montre que la loi exponentielle est une loi sans mémoire, et que c’est la seule sous l’hypothèse du 2. En fait, cette hypothèse n’est pas nécessaire mais le résultat est alors plus difficile à montrer.