\(\displaystyle 1-F(t)=P(X>t)=P_X(]t,+\infty[)=\int_{]t,+\infty[}1 \,dP_X(x)\). Donc \[\int_0^{+\infty}(1-F(t))\,dt=\int_0^{+\infty}\left(\int_{]t,+\infty[}1 \,dP_X(x)\right)dt.\] On applique Fubini-Tonelli, le domaine d’intégration étant \(\{(t,x)\in\Rr^2 \mid 0\leq t<x\}\) : \[\int_0^{+\infty}(1-F(t))\,dt=\int_{]0,+\infty[}\left(\int_{[0,x[} 1\,dt\right)dP_X(x)=\int_{]0,+\infty[} xdP_X(x).\] Par ailleurs, comme \(X\) est positive, \[E(X)=\displaystyle\int_0^{+\infty}x\,dP_X(x), \quad\mbox{donc}\quad E(X)=0 \times P_X(\{0\})+\int_{]0,+\infty[}x\,dP_X(x).\] On en déduit que \(\displaystyle E(X)=\int_0^{+\infty}(1-F(t))\,dt\).

Remarque : si la loi de \(X\) est continue, on n’a pas à se préoccuper si les intervalles sont ouverts ou fermés puisque \(P(X>a)=P(X\geq a)\).

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