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Montrer que $F(x)$ est bien définie pour tout $x \in \Rr$.

Montrer que si $k \ge 1$, alors $${2\over(2k+1)\pi} < u_{2k} < {1\over k\pi}.$$ Trouver une inégalité similaire pour $u_{2k+1}$, puis pour $u_{2k}+u_{2k+1}$.

Montrer que la suite de terme général $\displaystyle{v_n = \sum_{i=1}^n {1\over i^2}}$ admet une limite finie. En déduire que $$I = \int_0^\infty {\sin t\over t}\ dt$$ est convergente.