On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), on note \[u_n = F((n+1)\pi) - F(n\pi) = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} {\sin t\over t} dt.\]
1
Montrer que \(F(x)\) est bien définie pour tout \(x \in \Rr\).
2
Montrer que si \(k \ge 1\), alors \[{2\over(2k+1)\pi} < u_{2k} < {1\over k\pi}.\] Trouver une inégalité similaire pour \(u_{2k+1}\), puis pour \(u_{2k}+u_{2k+1}\).
3
Montrer que la suite de terme général \(\displaystyle{v_n = \sum_{i=1}^n {1\over i^2}}\) admet une limite finie. En déduire que \[I = \int_0^\infty {\sin t\over t}\ dt\] est convergente.