On considère le système linéaire \(x'(t) = A(t) x(t)\), où \(A\in {\cal C} ([0, \infty ))\). Soit \(\varphi\) une solution non-triviale de ce système et soit \[\gamma = \limsup_{t\to \infty } \frac{1}{t} \log \|\varphi (t) \| \;\; , -\infty \leq \gamma \leq \infty \; .\]
1
Montrer que \(\gamma\) ne dépend pas du choix de la norme \(\| . \|\) de \(\Rr^n\).
2
Montrer que \(\gamma\) est une valeur finie si on suppose que les coefficients de la matrice \(A(t)\) sont des fonctions bornées (on utilisera l’inégalité de Gronwall).
3
Dans le cas où \(A\) est une matrice constante diagonalisable, montrer que \(\gamma\) est forcément la partie réelle d’une valeur propre de \(A\).