On rappelle les différentes méthodes pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants \(X'(t)= A.X(t)\) sur \(E\) de dimension finie:
On met \(A\) sous forme triangulaire et on résout de proche en proche le nouveau système obtenu par changement de base avant de revenir au système initial.
On met \(A\) sous forme de Dunford, \(P^{-1}AP=D+N\), où \(D\) semi-simple et \(N\) nilpotente, qui commutent. On calcule ainsi \(e^{tA}.X_0\), la solution valant \(X_0\) au temps \(t=0\).
On utilise le théorème de Cayley-Hamilton pour établir des relations entre les puissances de \(A\) et calculer ainsi \(e^{tA}\).
(cf. Cartan) On décompose \(E=\oplus_i E_i\) en sous-espaces caractéristiques, on calcule \(e^{tA_i}\) où \(A_i=A_{|E_i}\), puis \(X(t)=\sum_ie^{tA_i}v_i\), si \(X_0=\sum_iv_i\).
On cherche une base de solutions par identification sous la forme de polynômes-exponentielles, suivant le résultat du cours.