Soit \(N\) un sous-groupe distingué d’un groupe \(G\) (\(N\lhd G\)) et \(H\) un sous groupe de \(G\) tel que \(H\cap N=\{e_G\}\).
1
Montrer que \(NH\) est un sous-groupe de \(G\).
2
On suppose désormais que \(|G|=|N||H|\). Montrer que \(\phi : N\times H\to G\), \((n,h)\mapsto nh\) est une bijection.
3
Montrer que si on munit \(N\times H\) de la loi \[(n,h)\star(n',h')=(n(hn'h^{-1}), hh'),\] alors \(N\times H\) est un groupe et \(\phi\) un isomorphisme de groupes.