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(a) Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$. On note $\varphi$ la surjection canonique $\varphi : G \rightarrow G/H$. Montrer que l’ordre d’un élément $x$ de $G$ est un multiple de l’ordre de $\varphi (x)$.

(b) Pour tout $x\in G$ on pose $\tau _x$ l’application de $G$ dans $G$ définie par $\tau _x(y)=xyx^{-1}$. Montrer que $\tau _x$ est un automorphisme de $G$ et que l’application $$x\rightarrow \tau _x$$ est un morphisme de groupes de $G$ dans $\hbox{\rm Aut}(G)$. Quel est le noyau de ce morphisme?

(c) On suppose que $G$ est fini et que $H$ est un sous-groupe distingué dont l’ordre est le plus petit nombre premier $p$ divisant l’ordre de $G$. Montrer que pour tout $x\in G$ l’ordre de la restriction à $H$ de $\tau _x$ est un diviseur de $p-1$ et de l’ordre de $G$. En déduire que $\tau _x$ restreint à $H$ est l’identité pour tout $x$ et donc que $H$ est contenu dans le centre de $G$.