1
Montrer que \(\mathcal{S}_3\) est résoluble.
2
Montrer que le groupe \(D_4\) des permutations de profil \((.,.)(.,.)\) est un groupe abélien d’ordre \(4\) distingué dans \(A_4\). En déduire que \(\mathcal{A}_4\) et donc \(\mathcal{S}_4\) sont résolubles.
3
On suppose désormais \(n\geq 3\). Soit \(c\) un \(3\) cycle. En considérant \(c^2\), montrer que \(c\) est un commutateur dans \(\mathcal{S}_n\). En déduire le sous groupe dérivé \(D(\mathcal{S}_n)\).
4
Montrer que pour \(n\geq 5\), \(\mathcal{A}_n\) et \(\mathcal{S}_n\) ne sont pas résolubles.