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Montrer que $\mathcal{S}_3$ est résoluble.

Montrer que le groupe $D_4$ des permutations de profil $(.,.)(.,.)$ est un groupe abélien d’ordre $4$ distingué dans $A_4$. En déduire que $\mathcal{A}_4$ et donc $\mathcal{S}_4$ sont résolubles.

On suppose désormais $n\geq 3$. Soit $c$ un $3$ cycle. En considérant $c^2$, montrer que $c$ est un commutateur dans $\mathcal{S}_n$. En déduire le sous groupe dérivé $D(\mathcal{S}_n)$.

Montrer que pour $n\geq 5$, $\mathcal{A}_n$ et $\mathcal{S}_n$ ne sont pas résolubles.