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Soit $f~: \mathcal{S}_n \to A$ un homomorphisme de groupes de $\mathcal{S}_n$ vers un groupe abélien. Démontrer que les transpositions ont toutes même image. Démontrer que si $A=\{1,-1\}$ $f=signature$ ou $f = \textrm{application constante} 1$.

Soit $G$ d’indice 2 dans $\mathcal{S}_n$. Démontrer que $G$ est distingué (reprendre la méthode de la feuille 1) puis que $G=\mathcal{A}_n$.