Supposons qu’il existe deux sous-groupes \(H\) et \(K\) distincts et d’ordre \(p\). Montrons d’abord que \(H\cap K =\{ e_G \}\). En effet \(H\cap K\) est un sous-groupe de \(H\) et donc le cardinal de \(H\cap K\) divise \(\mathrm{Card} H = p\) avec \(p\) premier. Or comme \(H\not= K\) alors \(H\cap K \not= H\) et donc \(\mathrm{Card} H\cap K =1\), c’est ce que nous voulions démontrer.

Maintenant d’après la première question \(HK\) est un ensemble de cardinal \(p^2\) dans le groupe \(G\) de cardinal \(pq < p^2\). Donc il ne peut exister deux sous-groupe d’ordre \(p\).

Supposons maintenant que \(H\) soit un sous-groupe d’ordre \(p\), c’est donc l’unique sous-groupe d’ordre \(p\) d’après ce que nous venons de démontrer. Pour \(g\in G\) le sous-groupe \(gHg^{-1}\) est du même ordre que \(H\) (car pour \(g\) fixé le morphisme \(\theta_g\) de \(G\) dans \(G\), \(\theta_g(h) =ghg^{-1}\) est un automorphisme et en particulier un biction donc \(\mathrm{Card} \theta_g(H)=\mathrm{Card} H\) ). Par conséquent \(gHg^{-1} = H\) et donc \(H\) est un sous-groupe distingué.

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