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Soit $G$ un groupe et $K\subset H\subset G$ deux sous-groupes. On suppose que $H$ est distingué dans $G$ et que $K$ est caractéristique dans $H$ (i.e. stable par tout automorphisme de $H$). Montrer qu’alors $K$ est distingué dans $G$.

Donner un exemple de groupe $G$ et de deux sous-groupes $K\subset H \subset G$, $H$ étant distingué dans $G$ et $K$ étant distingué dans $H$, mais $K$ n’étant pas distingué dans $G$.