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On rappelle que le centre d’un $p$-groupe n’est jamais réduit à $\{e\}$. Montrer par récurrence qu’un $p$-groupe est toujours résoluble.

Soient $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer qu’un groupe de cardinal $pq$ est toujours résoluble. (Supposer $p>q$ et considérer un $p$-Sylow)

Soit $G$ un groupe d’ordre $12$. Montrez que $G$ est résoluble (En supposant les $3$-Sylow non distingués, comptez le nombre d’éléments d’ordre $3$).

Soient $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrez qu’un groupe de cardinal $p^2q$ est toujours résoluble.