L3 Théorie des groupes Sous-groupe distingué 7 questions

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Le but de l’exercice est de déterminer les groupes dérivés successifs de S4\mathcal{S}_4. On notera V4V_4 le sous-groupe des permutations de profil (⋅,⋅)(⋅,⋅)(\cdot,\cdot)(\cdot,\cdot) (avec l’identité).

1

Montrer que D(S4)⊂A4D(\mathcal{S}_4) \subset \mathcal{A}_4.

2

Calculer les commutateurs (1,2)(1,3)(1,2)−1(1,3)−1(1,2)(1,3)(1,2)^{-1}(1,3)^{-1} et (1,2,3)(1,2,4)(1,2,3)−1(1,2,4)−1(1,2,3)(1,2,4)(1,2,3)^{-1}(1,2,4)^{-1}.

3

Montrer que D(S4)=A4D(\mathcal{S} _4)=A_4.

4

Montrer que V4⊂D(A4)V_4\subset D(\mathcal{A}_4).

5

Vérifier que V4V_4 est distingué dans A4\mathcal{A}_4 et que le quotient A4/V4\mathcal{A}_4/V_4 est un groupe abélien. En déduire que D(A4)⊂V4D(\mathcal{A}_4)\subset V_4.

6

En déduire D2(S4)D^2(\mathcal{S}_4).

7

Calculer les autres groupes dérivés de S4\mathcal{S}_4.

Exercice to0I

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