Tout automorphisme $\varphi$ du groupe $G=\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ permute les trois éléments d’ordre $2$ , c’est-à-dire l’ensemble $G^\ast$ des trois éléments non triviaux. La correspondance qui à $\varphi \in \hbox{\rm Aut}(\Z/2\Z \times \Z/2\Z)$ associe sa restriction à $G^\ast$ induit un morphisme $\chi: \hbox{\rm Aut}(\Z/2\Z \times \Z/2\Z) \rightarrow S_3$ . Tout morphisme $\varphi \in \hbox{\rm Aut}(\Z/2\Z \times \Z/2\Z)$ étant déterminé par sa restriction à $G^\ast$ , ce morphisme $\chi$ est injectif. De plus, tout automorphisme linéaire (pour la structure de $\Z/2\Z$ -espace vectoriel de $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ ) est un automorphisme de groupes. Il y a $6$ tels automorphismes (autant qu’il y a de bases). L’image de $\chi$ contient donc au moins $6$ éléments. Comme c’est un sous-groupe de $S_3$ , c’est $S_3$ lui-même et $\chi$ est un isomorphisme.

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