Tout automorphisme \(\varphi\) du groupe \(G=\Z/2\Z \times \Z/2\Z\) permute les trois éléments d’ordre \(2\), c’est-à-dire l’ensemble \(G^\ast\) des trois éléments non triviaux. La correspondance qui à \(\varphi \in \hbox{\rm Aut}(\Z/2\Z \times \Z/2\Z)\) associe sa restriction à \(G^\ast\) induit un morphisme \(\chi: \hbox{\rm Aut}(\Z/2\Z \times \Z/2\Z) \rightarrow S_3\). Tout morphisme \(\varphi \in \hbox{\rm Aut}(\Z/2\Z \times \Z/2\Z)\) étant déterminé par sa restriction à \(G^\ast\), ce morphisme \(\chi\) est injectif. De plus, tout automorphisme linéaire (pour la structure de \(\Z/2\Z\)-espace vectoriel de \(\Z/2\Z \times \Z/2\Z\)) est un automorphisme de groupes. Il y a \(6\) tels automorphismes (autant qu’il y a de bases). L’image de \(\chi\) contient donc au moins \(6\) éléments. Comme c’est un sous-groupe de \(S_3\), c’est \(S_3\) lui-même et \(\chi\) est un isomorphisme.

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