Soit \(E\) un \(k\)-espace vectoriel. Soit \(f\) une forme linéaire sur \(E\) et \(a\) un élément non nul de \(H=ker(f)\). On appelle transvection associée à \(f\) et \(a\) l’application \(u : E\to E\), \(x\mapsto x+f(x)a\). On rappelle que les transvections de \(E\) engendrent \(SL(E)\).
Soit \(u\) une transvection. En considérant une base \((e_i)\) de \(E\) avec \(e_{n-1}=a\), \((e_j)_{1\leq j\leq n-1}\) base de \(H\), et \(e_n\) tel que \(f(e_n)=1\), écrire la matrice de \(u\).
Montrer que si \(u\) est une transvection, \(Ker(u-Id)=H\), \(\det u=1\), \(u\) n’est pas diagonalisable.
Montrer que si \(\dim E\geq 3\), les transvections de \(E\) sont conjuguées dans \(SL(E)\).
On suppose \(k\) de caractéristique différente de \(2\) et \(\dim E\geq 3\). Montrer que \[D(GL(E)=D(SL(E))=SL(E)\] et donc que ni \(GL(E)\), ni \(SL(E)\) ne sont résolubles.