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Soit $u$ une transvection. En considérant une base $(e_i)$ de $E$ avec $e_{n-1}=a$, $(e_j)_{1\leq j\leq n-1}$ base de $H$, et $e_n$ tel que $f(e_n)=1$, écrire la matrice de $u$.

Montrer que si $u$ est une transvection, $Ker(u-Id)=H$, $\det u=1$, $u$ n’est pas diagonalisable.

Montrer que si $\dim E\geq 3$, les transvections de $E$ sont conjuguées dans $SL(E)$.

On suppose $k$ de caractéristique différente de $2$ et $\dim E\geq 3$. Montrer que $$D(GL(E)=D(SL(E))=SL(E)$$ et donc que ni $GL(E)$, ni $SL(E)$ ne sont résolubles.