1
Montrer que, après avoir fixé un générateur de \((\Z/11\Z)^\star\), la donnée d’un morphisme de groupes de \(\Z/5\Z\) dans \(Aut(\Z/11\Z)\) revient à la donnée d’un morphisme de groupes de \(\Z/5\Z\) dans \(\Z/10\Z\).
2
En déduire une structure de produit semi-direct sur \(\Z/11\Z\rtimes\Z/5\Z\).
3
Montrer que toutes les structures de produit semi-direct donnent des groupes isomorphes. On pourra montrer que si \(\phi, \psi\in Hom(\Z/5\Z,Aut(\Z/11\Z)\) alors il existe \(\gamma\in Aut(\Z/11\Z)\) tel que \(\psi (h) = \gamma\circ\phi (h)\circ \gamma^{-1}\).
4
Montrer que tous les morphismes de \(\Z/p\Z\to Aut (\Z/q\Z)\) sont de la forme \(t\mapsto \{x\mapsto k^t x\}\) où \(k\) est un élément de \((\Z/q\Z)^\star\) d’ordre \(p\).