L3 Théorie des groupes Sous-groupe distingué 3 questions

exo7 1430

Soit GG un groupe, HH et KK deux sous-groupes de G.G . On note HK={hk;h∈H,k∈K}.HK=\{ hk ; h\in H , k\in K\} .

1

Montrer que HKHK est un sous-groupe de GG si et seulement si HK=KH.HK=KH . En déduire que si HH est distingué dans GG alors HKHK est un sous-groupe de G.G .

2

On suppose désormais que ∀h∈H,k∈K:hk=kh.\forall h\in H , k\in K : hk=kh . Montrer que l’application f:H×K→Gf : H\times K\rightarrow G définie par ∀h∈H,k∈K:f(h,k)=hk\forall h\in H , k\in K : f(h,k)=hk est un homomorphisme de groupes.

3

Calculer le noyau et l’image de f.f . Donner une condition nécéssaire et suffisante pour que ff soit un isomorphisme de groupes.

Exercice h9Zv

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