L’ensemble \(\textrm{Hom}(\Zz/m\Zz,\Zz/n\Zz)\) des morphismes de groupe de \(\Zz/m\Zz\) dans \(\Zz/n\Zz\) est un groupe abélien pour l’addition naturelle des morphismes. On note \(\delta\) le pgcd de \(m\) et \(n\) et \(m^\prime\) et \(n^\prime\) les entiers \(m/\delta\) et \(n/\delta\). Si \(p:\Zz\rightarrow \Zz/m\Zz\) désigne la surjection canonique, la correspondance associant à tout \(f\in \textrm{Hom}(\Zz/m\Zz,\Zz/n\Zz)\) l’élément \(f\circ p(1)\) induit un isomorphisme de groupe entre \(\textrm{Hom}(\Zz/m\Zz,\Zz/n\Zz)\) et le sous-groupe \(n^\prime \Zz/n\Zz\) du groupe additif \(\Zz/n\Zz\), lequel est isomorphe à \(\Zz/\delta \Zz\).

L’ensemble \(\textrm{Aut}(\Zz/n\Zz)\) des automorphismes de \(\Zz/n\Zz\) est un groupe pour la composition. La correspondance précédente induit un isomorphisme entre \(\textrm{Aut}(\Zz/n\Zz)\) et le groupe \((\Zz/n\Zz)^\times\) des inversibles de \(\Zz/n\Zz\).

exo7 2152