Le but de l’exercice est de déterminer les sous-groupes distingués de \(\mathcal{S}_n\) (pour \(n\geq 5\)).
Soit \(H\) un sous-groupe distingué de \(\mathcal{S}_n\). Montrer que \(H\cap \mathcal{A}_n\) est un sous-groupe distingué de \(\mathcal{A}_n\). En déduire que \(H\) contient \(\mathcal{A}_n\) ou que \(H\cap\mathcal{A}_n=\{id\}\) ?
On suppose que \(H\cap \mathcal{A}_n=\{id\}\). Montrer que la restriction à \(H\) du morphisme signature est injective. Montrer que dans ce cas que tous les éléments de \(H\) sont dans le centre de \(\mathcal{S}_n\) et en déduire que \(H=\{id\}\).
On suppose que \(H\) contient \(\mathcal{A}_n\). Montrer alors que \(H=\mathcal{S}_n\) ou \(H=\mathcal{A}_n\) suivant l’indice de \(H\) dans \(\mathcal{S}_n\).
Conclure : si \(n\geq 5\), les seuls sous-groupes distingués de \(\mathcal{S}_n\) sont \(\{id\}\), \(\mathcal{A}_n\) et \(\mathcal{S}_n\)..