L3 Théorie des groupes Sous-groupe distingué 4 questions

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Le but de l’exercice est de déterminer les sous-groupes distingués de Sn\mathcal{S}_n (pour n≥5n\geq 5).

1

Soit HH un sous-groupe distingué de Sn\mathcal{S}_n. Montrer que H∩AnH\cap \mathcal{A}_n est un sous-groupe distingué de An\mathcal{A}_n. En déduire que HH contient An\mathcal{A}_n ou que H∩An={id}H\cap\mathcal{A}_n=\{id\} ?

2

On suppose que H∩An={id}H\cap \mathcal{A}_n=\{id\}. Montrer que la restriction à HH du morphisme signature est injective. Montrer que dans ce cas que tous les éléments de HH sont dans le centre de Sn\mathcal{S}_n et en déduire que H={id}H=\{id\}.

3

On suppose que HH contient An\mathcal{A}_n. Montrer alors que H=SnH=\mathcal{S}_n ou H=AnH=\mathcal{A}_n suivant l’indice de HH dans Sn\mathcal{S}_n.

4

Conclure : si n≥5n\geq 5, les seuls sous-groupes distingués de Sn\mathcal{S}_n sont {id}\{id\}, An\mathcal{A}_n et Sn\mathcal{S}_n..

Exercice jS78

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