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Démontrer qu’il existe un scalaire non nul $a\in k$ tel que $a^2\not=1$. Que se passe-t-il dans $\mathbb{F}_2$ et dans $\mathbb{F}_3$ ?

Soit $$t=\begin{pmatrix}1&1\cr 0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}a&0\cr 0& a^{-1}\end{pmatrix}.$$ Montrer que $T=tst^{-1}s^{-1}$ est une transvection.

Soit $\tau$ une transvection de $SL(2,k)$. Il existe $g\in GL(2,k)$ tel que $\tau = i_g(T):=gTg^{-1}$. Calculer $\tau$ à l’aide de $g$, $s$ et $t$ et montrer que $D(SL(2,k))$ contient toutes les transvections.

Déterminer $D(SL(2,k))$.

Déterminer $D(GL(2,k))$.