On travaille dans \(GL(2,k)\) pour un corps \(k\) qui a au moins \(4\) éléments. Soit \(g\in GL(2,k)\). On notera \(i_g\) l’automorphisme intérieur donné par \(g\).
Démontrer qu’il existe un scalaire non nul \(a\in k\) tel que \(a^2\not=1\). Que se passe-t-il dans \(\mathbb{F}_2\) et dans \(\mathbb{F}_3\) ?
Soit \[t=\begin{pmatrix}1&1\cr 0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}a&0\cr 0& a^{-1}\end{pmatrix}.\] Montrer que \(T=tst^{-1}s^{-1}\) est une transvection.
Soit \(\tau\) une transvection de \(SL(2,k)\). Il existe \(g\in GL(2,k)\) tel que \(\tau = i_g(T):=gTg^{-1}\). Calculer \(\tau\) à l’aide de \(g\), \(s\) et \(t\) et montrer que \(D(SL(2,k))\) contient toutes les transvections.
Déterminer \(D(SL(2,k))\).
Déterminer \(D(GL(2,k))\).