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Le but de l’exercice est de déterminer les sous-groupes distingués de $SL(E)$ . On supposera que le corps $k$ est de caractéristique nulle ou que sa caractéristique est différente de $2$ et première avec la dimension $n$ de $E$ . On supposera aussi $n\geq 3$ .

Donner l’exemple d’un sous-groupe non distingué de $SL(E)$ .

Soit $\phi~:G\to H$ un morphisme surjectif de groupes. Montrer que l’image par $\phi$ d’un sous-groupe distingué de $G$ est un sous-groupe distingué de $H$ .

Soit $H$ un sous-groupe de $SL(E)$ . Déterminer les possibilités pour son image dans $PSL(E)$ pour la projection canonique.

Montrer que tout sous-groupe du centre de $SL(E)$ est distingué dans $SL(E)$ .

On supposera désormais que $H$ n’est pas un sous-groupe du centre de $SL(E)$ . Soit $\tau$ une transvection. Montrer que $\tau^n$ est une transvection de $H$ .

Montrer que $H$ contient toutes les transvections de $E$ .

Conclure.

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