Le but de l’exercice est de déterminer les sous-groupes distingués de \(SL(E)\). On supposera que le corps \(k\) est de caractéristique nulle ou que sa caractéristique est différente de \(2\) et première avec la dimension \(n\) de \(E\). On supposera aussi \(n\geq 3\).
Donner l’exemple d’un sous-groupe non distingué de \(SL(E)\).
Soit \(\phi~:G\to H\) un morphisme surjectif de groupes. Montrer que l’image par \(\phi\) d’un sous-groupe distingué de \(G\) est un sous-groupe distingué de \(H\).
Soit \(H\) un sous-groupe de \(SL(E)\). Déterminer les possibilités pour son image dans \(PSL(E)\) pour la projection canonique.
Montrer que tout sous-groupe du centre de \(SL(E)\) est distingué dans \(SL(E)\).
On supposera désormais que \(H\) n’est pas un sous-groupe du centre de \(SL(E)\). Soit \(\tau\) une transvection. Montrer que \(\tau^n\) est une transvection de \(H\).
Montrer que \(H\) contient toutes les transvections de \(E\).
Conclure.