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On considère les groupes suivants : $$T= \{z\in\C \hskip 2pt | \hskip 2pt |z|=1\} \quad \mu _n = \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt z ^n =1 \} \quad \mu _\infty = \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt \exists n \quad z ^n =1 \}$$

(a) Montrer les isomorphismes suivants : $${\rm } \R /\Z \simeq T \quad {\rm } \C ^\times / \R ^{\times } _{>0}\simeq T \quad {\rm } \C ^{\times } /\R ^{\times } \simeq T \quad {\rm } T/ \mu _n \simeq T \quad {\rm } \C ^{\times } /\mu _n \simeq \C ^{\times }$$

(b) Montrer que $\mu _ \infty \simeq \Q /\Z$. Quels sont les sous-groupes finis de $\mu _\infty$?

(c) Montrer qu’un sous-groupe de type fini de $\Q$ contenant $\Z$ est de la forme $\frac{1}{q} \Z$. En déduire la forme des sous-groupes de type fini de $\Q /\Z$ et de $\mu _\infty$.

(d) Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $\mu _{p^\infty }= \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt \exists n \in \N \quad z^{p ^n }=1 \}$ est un sous-groupe de $\mu _\infty$. Est-il de type fini?