On considère les groupes suivants : \[T= \{z\in\C \hskip 2pt | \hskip 2pt |z|=1\} \quad \mu _n = \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt z ^n =1 \} \quad \mu _\infty = \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt \exists n \quad z ^n =1 \}\]
(a) Montrer les isomorphismes suivants : \[{\rm } \R /\Z \simeq T \quad {\rm } \C ^\times / \R ^{\times } _{>0}\simeq T \quad {\rm } \C ^{\times } /\R ^{\times } \simeq T \quad {\rm } T/ \mu _n \simeq T \quad {\rm } \C ^{\times } /\mu _n \simeq \C ^{\times }\]
(b) Montrer que \(\mu _ \infty \simeq \Q /\Z\). Quels sont les sous-groupes finis de \(\mu _\infty\)?
(c) Montrer qu’un sous-groupe de type fini de \(\Q\) contenant \(\Z\) est de la forme \(\frac{1}{q} \Z\). En déduire la forme des sous-groupes de type fini de \(\Q /\Z\) et de \(\mu _\infty\).
(d) Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que \(\mu _{p^\infty }= \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt \exists n \in \N \quad z^{p ^n }=1 \}\) est un sous-groupe de \(\mu _\infty\). Est-il de type fini?