Soit \(p>q>r\) trois nombres premiers. Le but de l’exercice est de montrer qu’un groupe d’ordre \(pqr\) est résoluble.
1
Montrer qu’un groupe d’ordre \(pq\) est résoluble.
2
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(pqr\). Supposons qu’il n’admette pas de sous-groupe distingué. On note \(N_p\) (resp. \(N_q\), \(N_r\) le nombre de sous-groupes de Sylow d’ordre \(p\) (resp. \(q\), \(r\)). Montrer que \(m_p=qr\), \(m_q\geq p\) et \(m_r\geq q\).
3
Conclure.