(a) Soit $\varphi: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p^m$ un morphisme de groupes. Pour tout $n\in \Z$ , on note $\overline n \in \Z/p\Z = \mathbb{F}_p$ sa classe modulo $p$ . Tout élément $\overline x \in \mathbb{F}_p^n$ peut s’écrire $\overline x=(\overline{x_1},\ldots, \overline{x_n})$ avec $x=(x_1,\ldots,x_n) \in \Z^n$ . On a alors $\varphi(\overline n \cdot \overline x)= \varphi (\overline{nx}) = \varphi (n \overline x) = n\varphi (\overline x) = \overline n \cdot \varphi (\overline x)$ . Le morphisme $\varphi$ est donc compatible avec les lois externes de $\mathbb{F}_p^n$ et $\mathbb{F}_p^m$ . Comme il est aussi additif, c’est une application $\mathbb{F}_p$ -linéaire.

(b) Considérons l’application $V:\hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z) \rightarrow \Z/p\Z$ qui à tout automorphisme $\chi$ associe $\chi (1)$ . Cette application est à valeurs dans $\Z/p\Z \setminus \{0\}$ (si $\chi \in \hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)$ , alors $\hbox{\rm ker}(\chi)=\{0\}$ ). C’est un morphisme de $\hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)$ muni de la composition vers le groupe multiplicatif $\Z/p\Z \setminus \{0\} = \mathbb{F}_p^\times$ : en effet si $\chi, \chi^\prime \in \hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)$ et si on pose $\chi^\prime (1)=\overline c$ (classe de $c\in \Z$ modulo $p$ ), alors $(\chi \circ \chi^\prime) (1) = \chi(\overline c) = c \chi (1)= \overline c \cdot \chi(1) = \chi^\prime(1) \cdot \chi(1) = \chi(1) \cdot \chi^\prime(1)$ . Ce morphisme $V$ est de plus injectif puisque tout automorphisme $\chi$ de $\Z/p\Z$ est déterminé par $\chi(1)$ . Enfin, pour tout $\overline a\in \Z/p\Z$ non nul, la correspondance $\overline n \rightarrow \overline a \cdot \overline n$ induit un automorphisme $\chi$ de $\Z/p\Z$ tel que $\chi(1)=\overline a$ . L’image du morphisme $V$ est donc tout $\mathbb{F}_p^\times$ . Ce qui établit l’isomorphisme demandé.

(c) D’après la question (a), il s’agit de compter le nombre d’automorphismes linéaires du $\mathbb{F}_p$ -espace vectoriel $\mathbb{F}_p^n$ , qui est égal au nombre de bases de $\mathbb{F}_p^n$ , c’est-à-dire $(p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n -p^{n-1})$ .

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