Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou \(\Cc\), \(E\) est un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\), \(\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)\) est une base fixée de \(E\) et \(f\). un endomorphisme de \(E\).
Donner un exemple de matrice de \(M_2(K)\) non trigonalisable.
Donner un exemple de matrice de \(M_n(K)\) à la fois non diagonalisable et trigonalisable.
Déterminer sans calculs les valeurs propres complexes de \(f\) s i sa matrice dans \(\mathcal{B}\) est \(M=\left(\begin{smallmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)\).
On suppose que \(n=3\) et que la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\) est \(M=\left(\begin{smallmatrix} 3&2&4\\-1&3&-1\\-2&-1&-3\end{smallmatrix}\right)\). Montrer que le plan d’équation \(x+2z=0\) est stable par \(f.\)
Que peut-on dire d’un vecteur générateur d’une droite stable par \(f\) ?
Montrer que si l’endomorphisme \(f\) est trigonalisable alors il admet au moins un sous-espace vectoriel stable par \(f\) et de dimension \(k\in[ 0,n]\) fixée.