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Donner un exemple de matrice de $M_2(K)$ non trigonalisable.

Donner un exemple de matrice de $M_n(K)$ à la fois non diagonalisable et trigonalisable.

Déterminer sans calculs les valeurs propres complexes de $f$ s i sa matrice dans $\mathcal{B}$ est $M=\left(\begin{smallmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)$.

On suppose que $n=3$ et que la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est $M=\left(\begin{smallmatrix} 3&2&4\\-1&3&-1\\-2&-1&-3\end{smallmatrix}\right)$. Montrer que le plan d’équation $x+2z=0$ est stable par $f.$

Que peut-on dire d’un vecteur générateur d’une droite stable par $f$ ?

Montrer que si l’endomorphisme $f$ est trigonalisable alors il admet au moins un sous-espace vectoriel stable par $f$ et de dimension $k\in[ 0,n]$ fixée.