On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=2\) et pour tout \(n\in\N,\: u_{n+1}=\sqrt{u_n}\).
1
Montrer que pour tout \(n\in\N\), \(u_n>1\).
2
Montrer que pour tout réel \(a\in]1;+\infty[\), on a \(\frac{1}{\sqrt a+1} \leq \frac12\).
3
En déduire que pour tout \(n\in\N\), on a \(u_{n+1}-1\leq \frac12\left(u_n-1\right)\).
4
Montrer que pour tout \(n\in\N\), \(u_n-1 \leq \left(\frac12\right)^n\). En déduire la limite de la suite \((u_n)\).