L1 Algèbre Logique, ensemble, raisonnement Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 7022

On considère la suite réelle (un)n∈N(u_n)_{n\in\N} définie par u0=2u_0=2 et pour tout n∈N, un+1=unn\in\N,\: u_{n+1}=\sqrt{u_n}.

1

Montrer que pour tout n∈Nn\in\N, un>1u_n>1.

2

Montrer que pour tout réel a∈]1;+∞[a\in]1;+\infty[, on a 1a+1≤12\frac{1}{\sqrt a+1} \leq \frac12.

3

En déduire que pour tout n∈Nn\in\N, on a un+1−1≤12(un−1)u_{n+1}-1\leq \frac12\left(u_n-1\right).

4

Montrer que pour tout n∈Nn\in\N, un−1≤(12)nu_n-1 \leq \left(\frac12\right)^n. En déduire la limite de la suite (un)(u_n).

Exercice 8sWr

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