Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices symétriques réelles d’ordre \(n\). Soit \(f: {\cal M}(\mathbb{R}) \rightarrow E\) définie par \(f(A)={\ }^tAA\).
1
Montrer que \(D_Af(X)={\ }^tAX+{\ }^tXA\).
2
Soit \(A \in {\cal O}_n(\mathbb{R})\), \(S \in E\) et \(X=1/2 AS\). Montrer que \(D_Af(X)=S\). En déduire que \({\cal O}_n(\mathbb{R})\) est une sous-variété de \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) de dimension \(n(n-1)/2\), dont l’espace tangent en \(Id\) est \(\{X \in {\cal M}_n(\mathbb{R}); {\ }^tX=-X\}\).