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Soit $E$ l’espace vectoriel des matrices symétriques réelles d’ordre $n$ . Soit $f: {\cal M}(\mathbb{R}) \rightarrow E$ définie par $f(A)={\ }^tAA$ .

Montrer que $D_Af(X)={\ }^tAX+{\ }^tXA$ .

Soit $A \in {\cal O}_n(\mathbb{R})$ , $S \in E$ et $X=1/2 AS$ . Montrer que $D_Af(X)=S$ . En déduire que ${\cal O}_n(\mathbb{R})$ est une sous-variété de ${\cal M}_n(\mathbb{R})$ de dimension $n(n-1)/2$ , dont l’espace tangent en $Id$ est $\{X \in {\cal M}_n(\mathbb{R}); {\ }^tX=-X\}$ .