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Soit $A$ une matrice carrée réelle de format $n$ et $S ={^t}AA$. Montrer que $S\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)$.

Réciproquement, montrer que pour toute matrice $S$ symétrique positive, il existe une matrice $A$ carrée réelle de format $n$ telle que $S ={^t}AA$. A-t-on l’unicité de $A$ ?

Montrer que $S$ est définie positive si et seulement si $A$ est inversible.

Montrer que $\text{rg}(A) =\text{rg}(S)$.

(Racine carrée d’une matrice symétrique positive) Soit $S$ une matrice symétrique positive.

Montrer qu’il existe une et une seule matrice $R$ symétrique positive telle que $R^2 = S$.