[ex:rou2]
1
Soit \(A\) une matrice carrée réelle de format \(n\) et \(S ={^t}AA\). Montrer que \(S\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)\).
2
Réciproquement, montrer que pour toute matrice \(S\) symétrique positive, il existe une matrice \(A\) carrée réelle de format \(n\) telle que \(S ={^t}AA\). A-t-on l’unicité de \(A\) ?
3
Montrer que \(S\) est définie positive si et seulement si \(A\) est inversible.
4
Montrer que \(\text{rg}(A) =\text{rg}(S)\).
5
(Racine carrée d’une matrice symétrique positive) Soit \(S\) une matrice symétrique positive.
Montrer qu’il existe une et une seule matrice \(R\) symétrique positive telle que \(R^2 = S\).