On peut supposer sans perte de généralité que $f\circ g\circ h$ et $g\circ h\circ f$ sont injectives et que $h\circ f\circ g$ est surjective. D’après l’exercice [exo:suprou8], puisque $f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h$ est injective, $h$ est injective et puisque $h\circ f\circ g=h\circ(f\circ g)$ est surjective, $h$ est surjective. Déjà $h$ est bijective. Mais alors, $h^{-1}$ est surjective et donc $f\circ g=h^{-1}\circ(h\circ f\circ g)$ est surjective en tant que composée de surjections. Puis $h^{-1}$ est injective et donc $f\circ g=(f\circ g\circ h)\circ h^{-1}$ est injective. $f\circ g$ est donc bijective. $f\circ g$ est surjective donc $f$ est surjective. $g\circ h\circ f$ est injective donc $f$ est injective. Donc $f$ est bijective. Enfin $g=f^{-1}\circ(f\circ g)$ est bijective en tant que composée de bijections.

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