On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeurs réelles telles que \(f(0)=0\) de la norme \(\Vert f\Vert _{\infty }= \displaystyle{ \sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }.\)
Soit \(\varphi : E\rightarrow \Rr\) une application linéaire. On pose \(N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f\in E; \Vert f \Vert _{\infty}=1}\vert \varphi (f)\vert } .\) Montrer que \(\varphi\) est continue si et seulement si \(N(\varphi )\) est fini. Montrer que \(\varphi \mapsto N(\varphi )\) est une norme sur l’espace vectoriel des formes linéaires continues sur \(E\).
Calculer \(\mu =N(\psi )\) lorsque \(\psi\) est définie en posant, pour toute fonction \(f\in E\) : \(\psi (f) = \displaystyle{\int _0 ^1f(t)dt }.\)
Peut-on trouver une fonction \(f\in E\) telle que \(\vert \psi (f)\vert =\mu\) et \(\Vert f \Vert _{\infty}=1\) ?