Soit \(A\) l’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) telles que \(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\in [0,1].\)
1
On munit \(C[0,1]\) de la norme \(\displaystyle{\Vert f \Vert _{\infty}=\sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }.\) Montrer que \(A\) est fermé et calculer son intérieur.
2
On munit \(C[0,1]\) de la norme \(\displaystyle{\Vert f \Vert _{1}=\int _{0}^1\vert f(x)\vert dx}.\) Montrer que l’intérieur de \(A\) est vide et que \(A\) est fermé.