Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quelques-uns des points \(u_n\) dans le plan et décrire qualitativement le comportement de la suite lorsque \(n\) tend vers l’infini. Étudier ensuite la convergence de chacune des suites et déterminer la limite le cas échéant.
1
\(u_n=(\frac{4n^2}{n^2+4n+3}, \cos\frac1n)\)
2
\(u_n=(\frac{n^2\arctan n}{n^2+1}, \sin(\frac{\pi}{4}\exp(-{\frac1n})))\)
3
\(u_n=(\sinh n, \frac{\ln n}{n})\)
4
\(u_n=(a^n\cos (n\alpha), a^n\sin (n\alpha))\), en fonction de \(a\in \R\), \(a>0\) et \(\alpha\in\R\).