\[1+e^{i\theta}= e^{\frac{i\theta}{2}}(e^{-\frac{i\theta}{2}}+e^{\frac{i\theta}{2}}) =2\cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{i\theta}{2}}.\] Comme \(\theta \in ]-\pi,+\pi[\) alors le module est \(2\cos \frac{\theta}{2} \geq 0\) et l’argument est \(\frac{\theta}{2}\). Géométriquement, on trace le cercle de centre \(1\) et de rayon \(1\). L’angle en \(0\) du triangle \((0,1,1+e^{i\theta})\) est \(\frac{\theta}{2}\) et donc est le double de l’angle en \(0\) du triangle \((0,2,1+e^{i\theta})\) qui vaut \(\theta\).

C’est le résulat géométrique (théorème de l’angle au centre) qui affirme que pour un cercle l’angle au centre est le double de l’angle inscrit.

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