(C’est en fait un exercice sur les polynômes de Tchebychev de 1ère espèce et vous pouvez généraliser cet exercice en passant au format \(n\) au lieu du format \(4\).)

Si on note \(C_j\), \(j\in\{1,2,3,4\}\), la \(j\)-ème colonne de \(A\) alors \(C_j= (\cos(i+j-2)a)_{1\leqslant i\leqslant4}\) puis pour \(j\) élément de \(\{1,2\}\),

\(C_{j+2}+ C_j =(2\cos(i+j-1)a\cos a)_{1\leqslant i\leqslant4}= 2\cos aC_{j+1}\)

et donc \(C_3 =2\cos aC_2 - C_1\in\text{Vect}(C_1,C_2)\) et \(C_4= 2\cos a C_3 -C_2\in\text{Vect}(C_2,C_3)\subset\text{Vect}(C_1,C_2)\).

Donc \(\text{Vect}(C_1,C_2,C_3,C_4)=\text{Vect}(C_1,C_2)\) et \(\text{rg}A=\text{rg}(C_1,C_2)\leqslant 2\).

Enfin \(\left| \begin{array}{cc} 1&\cos(a)\\ \cos(a)&\cos(2a) \end{array} \right|=\cos(2a) -\cos^2a=\cos^2a - 1= -\sin^2a\).

Si \(a\) n’est pas dans \(\pi\Zz\), ce déterminant n’est pas nul et donc les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires. Dans ce cas, \(\text{rg}A = 2\).

Si \(a\) est dans \(\pi\Zz\), la première colonne n’est pas nulle et les autres colonnes lui sont colinéaires. Dans ce cas, \(\text{rg}A = 1\).

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