(C’est en fait un exercice sur les polynômes de Tchebychev de 1ère espèce et vous pouvez généraliser cet exercice en passant au format $n$ au lieu du format $4$ .)

Si on note $C_j$ , $j\in\{1,2,3,4\}$ , la $j$ -ème colonne de $A$ alors $C_j= (\cos(i+j-2)a)_{1\leqslant i\leqslant4}$ puis pour $j$ élément de $\{1,2\}$ ,

$C_{j+2}+ C_j =(2\cos(i+j-1)a\cos a)_{1\leqslant i\leqslant4}= 2\cos aC_{j+1}$

et donc $C_3 =2\cos aC_2 - C_1\in\text{Vect}(C_1,C_2)$ et $C_4= 2\cos a C_3 -C_2\in\text{Vect}(C_2,C_3)\subset\text{Vect}(C_1,C_2)$ .

Donc $\text{Vect}(C_1,C_2,C_3,C_4)=\text{Vect}(C_1,C_2)$ et $\text{rg}A=\text{rg}(C_1,C_2)\leqslant 2$ .

Enfin $\left| \begin{array}{cc} 1&\cos(a)\\ \cos(a)&\cos(2a) \end{array} \right|=\cos(2a) -\cos^2a=\cos^2a - 1= -\sin^2a$ .

Si $a$ n’est pas dans $\pi\Zz$ , ce déterminant n’est pas nul et donc les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires. Dans ce cas, $\text{rg}A = 2$ .

Si $a$ est dans $\pi\Zz$ , la première colonne n’est pas nulle et les autres colonnes lui sont colinéaires. Dans ce cas, $\text{rg}A = 1$ .

$\text{rg}(A)=2$ si $a\notin\pi\Zz$ et $\text{rg}(A)=1$ si $a\in\pi\Zz$ .

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