La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée \(LN(\mu,\sigma)\), est la loi de densité \[f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) \mathbf 1_{]0,+\infty[}(x).\] Dans cet exercice, le second paramètre de \(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne l’écart-type.
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs strictement positives. Montrer que \(Y=\ln X\) suit la loi normale \(\mathcal N(\mu,\sigma)\) si et seulement si \(X\) suit la loi \(LN(\mu,\sigma)\).
Montrer que si \(X\sim LN(\mu,\sigma)\), alors \(1/X\) suit une loi log-normale dont on précisera les paramètres.
Soit \((X_i)_{1\leq i\leq n}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes telle que \(X_i\sim LN(\mu_i,\sigma_i)\). Déterminer la loi de \[Z=\prod_{i=1}^nX_i.\]
On suppose que \(X\sim LN(5,1{,}5)\). Calculer \(\mathbb P(50\leq X\leq400)\).
Soit \(X\sim LN(0,1)\). Montrer que \[\mathbb E[X] =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb R}e^{y-y^2/2}\,dy =e^{1/2}.\]