Soit \(k \in \R\) et \(f\) la fonction définie sur \(\R\) pour tout \(x \in \R\) par : \[f(x) = \begin{cases} kx(1-x) & \text{ si } x \in [0,1] \\ 0 & \text{ sinon } \end{cases}\]
Déterminer la valeur de \(k\) pour que \(f\) soit une densité de probabilité.
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f\). Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).
Déterminer la probabilité que \(X\) prenne une valeur dans l’intervalle \([0{,}5\,;\,1]\).
Déterminer l’espérance et la variance de \(X\).
Soit la variable aléatoire \(Y = X^2\). En distinguant éventuellement selon les valeurs de \(t \in \R\), déterminer \(a(t)\) et \(b(t)\) de telle sorte que \(\{Y \leq t\} = \left\{a(t) \leq X \leq b(t)\right\}\).
En déduire une expression de la fonction de répartition de \(Y\) puis une densité de probabilité de \(Y\).