On modélise le nombre d’unités militaires par heure circulant sur une route stratégique par une variable \(B\) suivant une loi de Poisson \(\mathcal{P}(600)\). De plus, on note \(A\) le nombre d’unités militaires par heure circulant sur une route stratégique en amont, de sorte que \(A+B\) est le nombre d’unités militaires circulant sur la route principale en aval. On suppose que \(A\) suit une loi de Poisson \(\mathcal{P}(3000)\) et que A et B sont indépendantes.
Supposons que \(X_1\) et \(X_2\) sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda_1)\) et une loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda_2)\). Démontrer que \(X_1+X_2\) suit une loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda_1+\lambda_2).\)
En déduire que si \(Y_n\) suit une loi de Poisson \(\mathcal{P}(n)\) alors \[\frac{Y_n-n}{\sqrt{n}}\xrightarrow[]{\text{en loi}}Z,\] où \(Z\) est une variable aléatoire suivant une loi \(\mathcal{N}(0,1)\).
Quel est le nombre moyen horaire d’unités militaires observées sur la route principale en aval ?
Déterminer la loi exacte de \(A+B\) donner une approximation de cette loi par une loi normale dont on précisera les paramètres.
Donner une approximation de la probabilité que le nombre d’unités militaires par heure circulant sur la route principale en aval dépasse les \(3700\).