Posons \(J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 1&1 \end{array} \right)\) de sorte que \(A=I+J\). On a \(J^2=2j\) et donc, plus généralement : \(\forall k\geq1,\;J^k=2^{k-1}J\). Mais alors, puisque \(I\) et \(J\) commutent, la formule du binôme de Newton fournit pour \(n\) entier naturel non nul donné :

\[\begin{align*}\ensuremath A^n&=(I+J)^n=I+\sum_{k=1}^{n}C_n^kJ^k=I+(\sum_{k=1}^{n}C_n^k2^{k-1})J=I+\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^{n}C_n^k2^k-1)J\\ &=I+\frac{1}{2}((1+2)^n-1)J=I+\frac{1}{2}(3^n-1)J=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 3^n+1&3^n-1\\ 3^n-1&3^n+1 \end{array} \right) \end{align*}\]

ce qui reste vrai pour \(n=0\). Donc,

\[\forall n\in\Nn,\;A^n=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 3^n+1&3^n-1\\ 3^n-1&3^n+1 \end{array} \right).\]

Poour \(n\) entier naturel donné, posons \(X_n=\left( \begin{array}{c} u_n\\ v_n \end{array} \right)\). Pour tout entier naturel \(n\), on a alors \(X_{n+1}=A.X_n\) et donc,

\[\begin{align*}\ensuremath X_n=A^n.X_0=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 3^n+1&3^n-1\\ 3^n-1&3^n+1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{3^n+1}{2}\\ \frac{3^n-1}{2} \end{array} \right). \end{align*}\]

Donc,

\[\forall n\in\Nn,\;u_n=\frac{3^n+1}{2}\;\mbox{et}\;v_n=\frac{3^n-1}{2}.\]

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