Posons $J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 1&1 \end{array} \right)$ de sorte que $A=I+J$ . On a $J^2=2j$ et donc, plus généralement : $\forall k\geq1,\;J^k=2^{k-1}J$ . Mais alors, puisque $I$ et $J$ commutent, la formule du binôme de Newton fournit pour $n$ entier naturel non nul donné :

$\begin{align*}\ensuremath A^n&=(I+J)^n=I+\sum_{k=1}^{n}C_n^kJ^k=I+(\sum_{k=1}^{n}C_n^k2^{k-1})J=I+\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^{n}C_n^k2^k-1)J\\ &=I+\frac{1}{2}((1+2)^n-1)J=I+\frac{1}{2}(3^n-1)J=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 3^n+1&3^n-1\\ 3^n-1&3^n+1 \end{array} \right) \end{align*}$

ce qui reste vrai pour $n=0$ . Donc,

$\forall n\in\Nn,\;A^n=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 3^n+1&3^n-1\\ 3^n-1&3^n+1 \end{array} \right).$

Poour $n$ entier naturel donné, posons $X_n=\left( \begin{array}{c} u_n\\ v_n \end{array} \right)$ . Pour tout entier naturel $n$ , on a alors $X_{n+1}=A.X_n$ et donc,

$\begin{align*}\ensuremath X_n=A^n.X_0=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} 3^n+1&3^n-1\\ 3^n-1&3^n+1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} \frac{3^n+1}{2}\\ \frac{3^n-1}{2} \end{array} \right). \end{align*}$

Donc,

$\forall n\in\Nn,\;u_n=\frac{3^n+1}{2}\;\mbox{et}\;v_n=\frac{3^n-1}{2}.$

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