L1 Algèbre Dénombrement Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 3060

Soit f:N→Nf : {\N} \to {\N} telle que : ∀ n∈N, f(f(n))<f(n+1)\forall\ n \in \N,\ f(f(n)) < f(n+1). On veut montrer que f=idNf = \text{id}_{\N}.

(Olympiades 1977)

1

Montrer que ∀ n∈N, ∀ x≥n, f(x)≥n\forall\ n\in \N,\ \forall\ x \ge n,\ f(x) \ge n.

2

Soit n∈Nn \in \N et a≥na \ge n tel que f(a)=min⁡{f(x)f(a) = \min\{f(x) tq x≥n}x\ge n\}. Montrer que a=na=n.

3

En déduire que ff est strictement croissante, puis conclure.

Exercice MfRw

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