Soit \(f : {\N} \to {\N}\) telle que : \(\forall\ n \in \N,\ f(f(n)) < f(n+1)\). On veut montrer que \(f = \text{id}_{\N}\).
(Olympiades 1977)
1
Montrer que \(\forall\ n\in \N,\ \forall\ x \ge n,\ f(x) \ge n\).
2
Soit \(n \in \N\) et \(a \ge n\) tel que \(f(a) = \min\{f(x)\) tq \(x\ge n\}\). Montrer que \(a=n\).
3
En déduire que \(f\) est strictement croissante, puis conclure.