Soient \(n,p \in \N\). On note \(\Gamma_n^p\) le nombre de \(n\)-uplets \((x_1,\dots, x_n) \in \N^n\) tels que \(x_1 + \dots + x_n = p\).
1
Déterminer \(\Gamma_n^0\), \(\Gamma_n^1\), \(\Gamma_n^2\), \(\Gamma_2^n\).
2
Démontrer que \(\Gamma_{n+1}^{p+1} = \Gamma_{n+1}^p + \Gamma_n^{p+1}\) (on classera les \((n+1)\)-uplets tels que \(x_1 + \dots + x_{n+1} = p + 1\) suivant que \(x_1 = 0\) ou non).
3
En déduire que \(\Gamma_n^p = C_{n+p-1}^p\).