Dans un plan affine euclidien orienté on considère deux points distincts \(O\) et \(A\). On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(2\pi/3\) et \(\rho\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(2\pi/3\). On pose \(B=r(A)\) et \(C=r(B)\). Enfin on note \(G\) le groupe d’isométries engendré par \(r\) et \(\rho\).
Montrer que \(G\) ne contient que des translations et des rotations d’angle \(2\pi/3\) et \(-2\pi/3\).
Expliciter une relation de dépendance entre les vecteurs \(\vec{OA}, \vec{OB}\) et \(\vec{OC}\) (on pourra remarquer que la somme de ces vecteurs est invariante par \(r\)).
Montrer que \(r\circ\rho ^{-1}\) et \(r^{-1} \circ \rho\) sont des translations dont on précisera le vecteur (on pourra étudier l’image de \(A\)).
Montrer que \(G\) contient toutes les translations de vecteur \(p \vec{OA} + q \vec{OB}\) avec \(p\in \Zz\), \(q\in\Zz\) et \(p+q\in 3\Zz\).