L2 Géométrie Géométrie affine euclidienne Prépa MPSI · MP2IPrépa PTSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 4 questions

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Dans un plan affine euclidien orienté on considère deux points distincts OO et AA. On note rr la rotation de centre OO et d’angle 2π/32\pi/3 et ρ\rho la rotation de centre AA et d’angle 2π/32\pi/3. On pose B=r(A)B=r(A) et C=r(B)C=r(B). Enfin on note GG le groupe d’isométries engendré par rr et ρ\rho.

1

Montrer que GG ne contient que des translations et des rotations d’angle 2π/32\pi/3 et −2π/3-2\pi/3.

2

Expliciter une relation de dépendance entre les vecteurs OA⃗,OB⃗\vec{OA}, \vec{OB} et OC⃗\vec{OC} (on pourra remarquer que la somme de ces vecteurs est invariante par rr).

3

Montrer que r∘ρ−1r\circ\rho ^{-1} et r−1∘ρr^{-1} \circ \rho sont des translations dont on précisera le vecteur (on pourra étudier l’image de AA).

4

Montrer que GG contient toutes les translations de vecteur pOA⃗+qOB⃗p \vec{OA} + q \vec{OB} avec p∈Zp\in \Zz, q∈Zq\in\Zz et p+q∈3Zp+q\in 3\Zz.

Exercice OD0l

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