Commençons par la fin, trouver un tel \(\delta\) montrera que \[\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-(-3)| < \epsilon\] autrement dit la limite de \(f\) en \(x_0=0\) est \(-3\). Comme \(f(0)=-3\) alors cela montre aussi que \(f\) est continue en \(x_0=0\).

On nous donne un \(\epsilon>0\), à nous de trouver ce fameux \(\delta\). Tout d’abord \[\left| f(x)+3 \right| = \left| \frac{2x+3}{3x-1} + 3 \right| = \frac{11|x|}{|3x-1|}.\] Donc notre condition devient : \[\left| f(x)+3 \right| < \epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac{11|x|}{|3x-1|} < \epsilon \quad \Leftrightarrow \quad |x| < \epsilon\frac{|3x-1|}{11}.\]

Comme nous voulons éviter les problèmes en \(x = \frac 13\) pour lequel la fonction \(f\) n’est pas définie, nous allons nous placer “loin” de \(\frac 13\). Considérons seulement les \(x \in \Rr\) tel que \(|x| < \frac 16\). Nous avons : \[|x| < \frac 16 \Rightarrow -\frac 16 < x < + \frac 16 \quad \Rightarrow \quad -\frac 32 < 3x-1 < -\frac 12 \quad \Rightarrow \quad \frac 12 < |3x-1|.\] Et maintenant explicitons \(\delta\) : prenons \(\delta < \epsilon \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{11}\). Alors pour \(|x| < \delta\) nous avons \[|x| < \delta = \epsilon \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{11} < \epsilon \cdot|3x-1|\cdot \frac{1}{11}\] ce qui implique par les équivalences précédentes que \(\left| f(x)+3 \right| < \epsilon\).

Il y a juste une petite correction à apporter à notre \(\delta\) : au cours de nos calculs nous avons supposé que \(|x| < \frac 16\), mais rien ne garantie que \(\delta \le \frac 16\) (car \(\delta\) dépend de \(\epsilon\) qui pourrait bien être très grand, même si habituellement ce sont les \(\epsilon\) petits qui nous intéressent). Au final le \(\delta\) qui convient est donc : \[\delta = \min (\frac 16, \frac{\epsilon}{22}).\]

Remarque finale : bien sûr on savait dès le début que \(f\) est continue en \(x_0=0\). En effet \(f\) est le quotient de deux fonctions continues, le dénominateur ne s’annulant pas en \(x_0\). Donc nous savons dès le départ qu’un tel \(\delta\) existe, mais ici nous avons fait plus, nous avons trouvé une formule explicite pour ce \(\delta\).

exo7 670