Commençons par la fin, trouver un tel $\delta$ montrera que $\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-(-3)| < \epsilon$ autrement dit la limite de $f$ en $x_0=0$ est $-3$ . Comme $f(0)=-3$ alors cela montre aussi que $f$ est continue en $x_0=0$ .

On nous donne un $\epsilon>0$ , à nous de trouver ce fameux $\delta$ . Tout d’abord $\left| f(x)+3 \right| = \left| \frac{2x+3}{3x-1} + 3 \right| = \frac{11|x|}{|3x-1|}.$ Donc notre condition devient : $\left| f(x)+3 \right| < \epsilon \quad \Leftrightarrow \quad \frac{11|x|}{|3x-1|} < \epsilon \quad \Leftrightarrow \quad |x| < \epsilon\frac{|3x-1|}{11}.$

Comme nous voulons éviter les problèmes en $x = \frac 13$ pour lequel la fonction $f$ n’est pas définie, nous allons nous placer “loin” de $\frac 13$ . Considérons seulement les $x \in \Rr$ tel que $|x| < \frac 16$ . Nous avons : $|x| < \frac 16 \Rightarrow -\frac 16 < x < + \frac 16 \quad \Rightarrow \quad -\frac 32 < 3x-1 < -\frac 12 \quad \Rightarrow \quad \frac 12 < |3x-1|.$ Et maintenant explicitons $\delta$ : prenons $\delta < \epsilon \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{11}$ . Alors pour $|x| < \delta$ nous avons $|x| < \delta = \epsilon \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{11} < \epsilon \cdot|3x-1|\cdot \frac{1}{11}$ ce qui implique par les équivalences précédentes que $\left| f(x)+3 \right| < \epsilon$ .

Il y a juste une petite correction à apporter à notre $\delta$ : au cours de nos calculs nous avons supposé que $|x| < \frac 16$ , mais rien ne garantie que $\delta \le \frac 16$ (car $\delta$ dépend de $\epsilon$ qui pourrait bien être très grand, même si habituellement ce sont les $\epsilon$ petits qui nous intéressent). Au final le $\delta$ qui convient est donc : $\delta = \min (\frac 16, \frac{\epsilon}{22}).$

Remarque finale : bien sûr on savait dès le début que $f$ est continue en $x_0=0$ . En effet $f$ est le quotient de deux fonctions continues, le dénominateur ne s’annulant pas en $x_0$ . Donc nous savons dès le départ qu’un tel $\delta$ existe, mais ici nous avons fait plus, nous avons trouvé une formule explicite pour ce $\delta$ .

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