Pour \(n\in\Nn^*\), posons \(u_n=\sqrt[n]{n}\) puis, pour \(x\) réel strictement positif, \(f(x)=x^{1/x}\) de sorte que pour tout naturel non nul \(n\), on a \(u_n=f(n)\). \(f\) est définie sur \(]0,+\infty[\) et pour \(x>0\), \(f(x)=e^{\ln x/x}\). \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour \(x>0\),

\[f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{\ln x/x}.\] Pour \(x>0\), \(f'(x)\) est du signe de \(1-\ln x\) et donc \(f'\) est strictement positive sur \(]0,e[\) et strictement négative sur \(]e,+\infty[\). \(f\) est donc strictement croissante sur \(]0,e]\) et strictement décroissante sur \([e,+\infty[\). En particulier, pour \(n\geq3\),

\[u_n=f(n)\leq f(3)=u_3=\sqrt[3]{3}.\] Comme \(u_2=\sqrt{2}>1=u_1\), on a donc \(\mbox{Max}\{u_n,\;n\in\Nn^*\}=\mbox{Max}\{\sqrt{2},\sqrt[3]{3}\}\). Enfin, \(\sqrt{2}=1,41...<1,44..=\sqrt[3]{3}\) (on peut aussi constater que \((\sqrt{2})^6=8<9=(\sqrt[3]{3})^6\)). Finalement,

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