Pour $n\in\Nn^*$ , posons $u_n=\sqrt[n]{n}$ puis, pour $x$ réel strictement positif, $f(x)=x^{1/x}$ de sorte que pour tout naturel non nul $n$ , on a $u_n=f(n)$ . $f$ est définie sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$ , $f(x)=e^{\ln x/x}$ . $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$ ,

$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}e^{\ln x/x}.$ Pour $x>0$ , $f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$ et donc $f'$ est strictement positive sur $]0,e[$ et strictement négative sur $]e,+\infty[$ . $f$ est donc strictement croissante sur $]0,e]$ et strictement décroissante sur $[e,+\infty[$ . En particulier, pour $n\geq3$ ,

$u_n=f(n)\leq f(3)=u_3=\sqrt[3]{3}.$ Comme $u_2=\sqrt{2}>1=u_1$ , on a donc $\mbox{Max}\{u_n,\;n\in\Nn^*\}=\mbox{Max}\{\sqrt{2},\sqrt[3]{3}\}$ . Enfin, $\sqrt{2}=1,41...<1,44..=\sqrt[3]{3}$ (on peut aussi constater que $(\sqrt{2})^6=8<9=(\sqrt[3]{3})^6$ ). Finalement,

$\text{Max}\left\{\sqrt[n]{n},\;n\in\Nn^*\right\}=\sqrt[3]{3}=1,44...$

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